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Page 4 sur 9 Nombre 5 Le nombre Cinq et le nombre d’or
Mais le nombre le plus intéressant pour notre étude est le pentagramme ou le Cinq. Ce nombre est lié au Nombre d'or et au décagone.
Qu'est le Nombre d'or ? Son nom, "sectio aurea", lui a été donné par Léonard de Vinci en illustrant la "Divine proportion" de Luca Pacioli. Il était connu des Anciens, en particulier de Pythagore. Les Égyptiens s'en servaient puisque nous le retrouvons dans les mensurations de la grande pyramide de Chéops. Considéré par KEPLER comme « un joyau précieux, l'un des deux trésors de la géométrie » (le second étant le théorème de Pythagore, de nombreuses idées gravitent autour de lui d'autant que les applications qu'on lui attribue ou qu'il est sensé représenter sont nombreuses. Le nombre d'or, représenté par la lettre grecque majuscule phi : Φ a pour valeur :  Le petit Larousse nous apprend que ce nombre "correspond à une proportion considérée comme particulièrement esthétique" et le petit Robert ajoute : "c'est le rapport entre la plus grande des deux parties et la plus petite qui est égal au rapport entre le tout et la plus grande". En fait, cette dernière définition donne la section dorée c'est-à-dire : 
A partir de ces données, nous avons trois procédés pour construire le nombre d'or (figure 9) .  Figure 9 : Construction géométrique du nombre d’or Il a les propriétés mathématiques suivantes : L'un des segments est la somme des deux autres AB = AM + MB. La longueur de l'un des segments est la moyenne géométrique des longueurs des deux autres : AM2 = AB x MB. Les quatre segments MB, AM, AB et AN ont des longueurs qui forment une progression géométrique croissante de raison écale à . Φ Le nombre d'or est égal à son inverse augmenté d'une unité Φ = 1 + 1/Φ
Dans une progression géométrique ayant pour raison le nombre d'or Φ , un terme de rang quelconque n est égal à la somme des deux termes qui le précèdent de rang respectif (n - 1 ) et (n - 2) :  Figure 9 : Construction géométrique du nombre d’or Φn = Φ(n-1) + Φ(n-2) quelque soit n.
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|  Figure 9 : Construction géométrique du nombre d’or |
Les longueurs proportionnelles aux termes de cette série ont des propriétés géométriques et graphiques telles que deux longueurs dont le rapport est f permettent par de simples additions ou soustractions au compas ou à la règle de construire la série géométrique suivante. Ainsi, si nous construisons un rectangle d'or avec son gnomon nous pouvons indéfiniment construire différents rectangles d'or déduits du premier. A partir de cette construction, nous arrivons finalement à la spirale d'or (figure 10).  Figure 9 : Construction géométrique du nombre d’or |  Figure 10 : Le rectangle d’or et son gnomon |
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