Annexe III - Correspondance bio-mécanique
Auteur : Jean-Louis Boutin
1 - LE PROBLÈME
Le problème posé est la recherche de courbes mathématiques simples qui puissent rendre compte de la forme naturelle des côtes du squelette humain. L'investigation qui suit porte sur la recherche d'une série de courbes planes, étant entendu que les côtes en question ne le sont pratiquement pas, et qu'en outre le plan moyen d'inclinaison des côtes dans l'espace varie de façon importante. En effet, J.-L. BOUTIN a relevé les angles suivants :
suivant l'Axe Sagittal :
| Côte N° 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Degrés 55° | 50° | 45° | 35° | 30° | 30° | 30° | 30° | 30° | 30° |
suivant l'Axe Horizontal
| Côte N° 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Degrés -25° | -15° | 0° | 10° | 20° | 25° | 25° | 25° | 25° | 30° |
La recherche a débuté sur l'idée suivante : des courbes de type épicycloïdal devraient donner une solution approchée convenable. L'expérience a montré qu'une autre famille de courbes s'adapte mieux au problème posé.
2 - PRÉPARATION DES DONNÉES
Une première expérience est partie de photographies de côtes (côte n° 2 et côte n° 4, voir à la fin de l'annexe). Le dessin de ces côtes a été relevé sur du papier millimétré, et plusieurs essais d'épicycloïdes ont été faits. Ces côtes étant isolées et peu régulières, la recherche d'une famille de courbes s'est avérée peu probante.
Par la suite, on a pu disposer physiquement d'une série de côtes, et une première sélection a pu être pratiquée, en choisissant celles qui pouvaient le mieux se prêter à la prise de données numériques, soit par leur régularité de forme, soit par leur planéité. Les côtes suivantes ont ainsi été numérisées, par environ 40 à 50 couples de valeurs x, y chacune, Il s'agit des côtes
D3 D4 D5 D6 D7
la lettre "D" signifiant droite, et le numéro étant celui de la côte considérée.
La préparation des données numériques a consisté à coucher chaque côte sur une feuille de papier millimétré, et à relever point par point les coordonnées x, y de sa face interne par rapport à deux axes Ox, Oy arbitraires. En effet, le traitement informatique consécutif pouvait permettre les translations ou rotations d'argument quelconque et le choix des axes importait assez peu.
Les coordonnées de ces côtes sont données en Annexe.
3 - INVESTIGATION PRÉLIMINAIRE
Une première étude a eu pour objet de rechercher une courbe de forme épicycloïdale, dont la formule mathématique générale est :
r = a x cos (t) + l
Où :
r, t = coordonnées polaires habituelles, éventuellement corrigées par l'angle de projection par rapport à Oy.
a = rayon du cercle générateur de la cycloïde.
l = distance additionnelle portée sur le rayon.
Les diverses combinaisons de a,l essayées ne fournissent pas un lissage suffisamment précis en chaque région de la côte considérée ; c'est-à-dire que :
une proximité suffisante entre chaque point de l'épicycloïde et le point correspondant de la côte ne peut être assurée sur tout le périmètre de cette côte, par suite de variations importantes en d'autres termes, l'écart moyen est notoire ;
la variance de cet écart est aussi très importante, c'est-à-dire qu'en fait les dérivées premières et secondes de la côte et de l'épicycloïde diffèrent parce que leurs courbures n'obéissent visiblement pas à la même loi de variation.
Ceci n'a pu être amélioré ni par translation ou rotation des côtes, ni par déformation des épicycloïdes en supposant ces dernières contenues dans un plan incliné par rapport à l'axe Ox ou par rapport à l'axe Oy, ou les deux. La solution la plus approchée est obtenue en considérant les épicycloïdes comme étant dans le même plan que la côte par rapport à l'axe Ox, mais dans un plan incliné par rapport à l'axe Oy. En effet, les inclinaisons sur Oy qui donnent les meilleurs résultats sont :
| Côte : | D3 | D4 | D5 | D6 | D7 |
| Figure: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Angle/Oy | 30° | 37° | 45° | 48° | 50° |
Les épicycloïdes correspondantes sont tracées en pointillé sur les figures en question. Elles obéissent aux équations (en millimètres, et à l'échelle indiquée sur la figure correspondante)
| Côte n° | Formule de l’épicycloïde | Angle | |
| D 3 | r = 26 x cos(t) + 18 | 0° | 30° |
| D 4 | r = 29 x cos(t) + 20 | 0° | 37° |
| D 5 | r = 28 x cos(t) + 20 | 0° | 45° |
| D 6 | r = 29 x cos(t) + 20 | 0° | 48° |
| D 7 | r = 27 x cos(t) + 20 | 0° | 50° |
où l'angle t varie de 0 à 2xPI (radians).
On relève cependant une certaine constance dans les paramètres a et Z, la qualité du lissage semblant dépendre surtout de l'angle d'inclinaison de l'épicycloïde par rapport à l'axe Oy.
4. LA SPIRALE D'ARCHIMEDE.
Les essais ci-dessus ont débouché sur l'analyse des coordonnées des côtes elles-mêmes : en transformant les coordonnées x, y relevées sur les côtes en coordonnées polaires r, teta et opérant le tracé r (teta) sur une table traçante (voir figures 6 à 10), on découvre une linéarité remarquable entre r et teta , ce qui suggère évidemment une loi de la forme
|
r = a - b x teta
|
qui est celle de la Spirale d'Archimède.
Il reste alors à découvrir dans chaque cas la valeur des paramètres a et 1, et à tracer côte et spirale ensemble à la même échelle.
C'est ce qui a été fait dans les figures 1 à 5, où les Spirales d'Archimède apparaissent en tirets (épicycloïde étant en pointillé, et la côte elle-même en trait plein).
| Côte n° | Formule de la spirale d’Archimède | Angle Ox Oy | |
| D 3 | r = 126,5373 – 0,75 x teta | 0° | 0° |
| D 4 | r = 142,547 – 0,9867 x teta | 0° | 0° |
| D 5 | r = 160,34 – 1, 2352 x teta | 0° | 0° |
| D 6 | r = 178,1386 – 1,647 x teta | 0° | 0° |
| D 7 | r = 190,4438 – 1,8885 x teta | 0° | 0° |
où l'angle teta varie de 0 à 2xPI (radians).
Ces figures appellent les commentaires suivants :
la Côte D3 (fig. 1) est très voisine de la spirale sur les 2/3 de son périmètre, alors que la cycloïde ne l'est que sur 1/3. Cependant, la spirale s'écarte notoirement sur la partie gauche.
la Côte D4 (fig. 2) est extrêmement voisine de la spirale sur l'ensemble du périmètre, de même que la Côte D5 (fig. 3).
la Côte D6 (fig. 4) et la Côte D7 (fig. 5) manifestent des divergences sur la moitié du parcours, mais ceci peut être dû au fait que nous n'avons pas eu le temps d'essayer des spirales situées dans des plans inclinés par rapport à Ox ou Oy. Les calculs de moyenne et de variance montrent néanmoins dans ces deux cas que les spirales sont des solutions mieux approchées que les épicycloïdes.
5 - CONCLUSION
Il apparaît que les Côtes D3 à D7 relèvent d'un lissage approché par Spirale d'Archimède. La forme spirale est d'ailleurs assez répandue dans la nature, en particulier chez tous les organismes où se produit un phénomène de croissance progressive d'une structure rigide à partir d'un schéma élémentaire (par exemple dans les coquillages).
Il conviendrait de poursuivre cette étude d'abord pour les côtes D1 à D2 et D7 à D10 ainsi que pour leurs symétriques gauches, ensuite d'essayer soit des inclinaisons par rapport au plan de la côte, soit des formules d'hyperspirales, sous la forme
r = a - b x teta - c x teta2 - etc...
ou
r = a - b x sin(teta)
en particulier au voisinage des vertèbres. Il apparaît en effet une progression remarquable dans les valeurs des paramètres a et b des spirales, progression qui est l'indice d'une loi de formation que l'on pourrait détecter par un lissage par moindres carrés.
On pourrait également envisager l'écriture d'un programme qui, sur la base des moindres carrés, opère tout seul les translations ou les rotations nécessaires pour arriver par itérations automatiques à la solution la plus approchée.
Accessoirement, les coordonnées x, y des côtes relevées sur cliché photographique (Côtes 2 et 4) sont données ci-dessous :
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